Gurth 对称定理
题目在某种对称变换与数字重新命名后仍保持一致，又已确认唯一解时，答案也必须保持同样的对应关系。对称固定格只允许使用映射到自身的数字。
先记住一句话
本方法依赖唯一解。先完成唯一性核验，才能使用下面的推理。
怎样找到这个突破口
- 先通过唯一解核验。选择主对角反射、副对角反射或半周旋转中的一个位置变换。
- 检查每个已填格都在变换后的对应位置有已填数，空格也必须对应空格；逐个数字建立一致的 A→B 映射。
- 九个数字的映射都必须已知且一一对应，不能一个数映到两种数，也不能两个数映到同一个数。
- 位置变换后仍是自己的格，只能保留 A→A 这样的自映射数字。
- 其他格的候选 A 若在对位格找不到对应候选 B，就可删除 A；不要仅凭看起来对称直接填写。
为什么这样做成立
把一个完整答案按位置对称，再按数字双射重新命名，行列宫规则仍然成立。已填数也保持原样，所以变换后仍是同一道题的答案。原题只有一个答案，变换后的答案就必须与原答案相同。
因此轴上或中心等固定位置的数字必须在重命名后仍是自己。其他镜像位置则必须成对满足数字映射，不能一边允许 A、另一边却完全没有它应对应的 B。
一一映射怎样检查
把九个数字各写在一张卡片上，给每张卡指定唯一的新名字。新名字不能重复，而且九个旧名字都要有对应。检查所有已填数时，同一个旧数字每次都必须得到同一个新名字。
唯一性为何不可少
没有唯一性时，对称变换可能把一个答案变成另一个不同答案，题目仍然有效，不能要求每个答案自身对称。只有确认答案唯一，才能把“变换后仍是答案”推进为“变换后必须是同一个答案”。
对照例题：边看题，边学方法
先自己观察，再按步骤对照。解题方法的题例保留完整候选，用于练习当前这一步；操作指南的题例用于跟做本课功能。候选结构练习可能有多个完整解。
对照例题 1
Gurth 对称定理 · 对照示范 1
先找相关区域，再说清楚结构为什么成立。
先自己观察。这是完整的数独候选盘，可以直接和文字步骤对照。
黄色是观察格；实线表示强关系，虚线表示互斥关系，虚框表示候选组。试着先说出结论。
为什么可以这样做
盘面的全部已填数满足主对角反射和数字一一映射：1→9，2→2，3→5，4→4，5→3，6→7，7→6，8→8，9→1。由于已核验唯一解，完整答案也必须保持这组对应。位于对称轴的格只可取映射到自身的数字；其他格的候选必须在对位格有对应候选。
本步结果 · 18 项
- 第1行第1列删除候选 6
- 第1行第1列删除候选 7
- 第2行第2列删除候选 1
- 第2行第2列删除候选 6
- 第2行第2列删除候选 7
- 第2行第2列删除候选 9
- 第3行第3列删除候选 1
- 第3行第3列删除候选 9
- 第5行第5列删除候选 1
- 第5行第5列删除候选 9
- 第6行第6列删除候选 6
- 第6行第6列删除候选 7
- 第8行第8列删除候选 1
- 第8行第8列删除候选 3
- 第8行第8列删除候选 5
- 第8行第8列删除候选 9
- 第9行第9列删除候选 3
- 第9行第9列删除候选 5
自己动手：5 道巩固练习
先不看答案，打开练习盘完成本课目标，再回来核对理由。练习通过数字替换、旋转或镜像形成同结构变式，帮助你换个位置也能认出来。
巩固练习 1 / 5
Gurth 对称定理 · 巩固练习 1
使用“Gurth 对称定理”找到一步可以确定填数或删除候选的推理；先指出观察格，再说明理由。
同结构变式 · 左右镜像 · 数字重新编号 · 来源：Shining Mirror 对称定理（题例）
需要时，看一点提示
先回想本课口诀：“位置照镜子，数字换名字；题目唯一，答案也得对上。” 图中已保留本题完整候选，先找结构，暂时不要展开答案。
做完后，对照答案与理由
盘面的全部已填数满足副对角反射和数字一一映射：1→1，2→2，3→4，4→3，5→8，6→6，7→9，8→5，9→7。由于已核验唯一解，完整答案也必须保持这组对应。位于对称轴的格只可取映射到自身的数字；其他格的候选必须在对位格有对应候选。
- 第1行第9列删除候选 5
- 第1行第9列删除候选 8
- 第2行第8列删除候选 5
- 第2行第8列删除候选 7
- 第2行第8列删除候选 8
- 第2行第8列删除候选 9
- 第3行第7列删除候选 7
- 第3行第7列删除候选 9
- 第5行第5列删除候选 7
- 第5行第5列删除候选 9
- 第6行第4列删除候选 5
- 第6行第4列删除候选 8
- 第8行第2列删除候选 3
- 第8行第2列删除候选 4
- 第8行第2列删除候选 7
- 第8行第2列删除候选 9
- 第9行第1列删除候选 3
- 第9行第1列删除候选 4
巩固练习 2 / 5
Gurth 对称定理 · 巩固练习 2
使用“Gurth 对称定理”找到一步可以确定填数或删除候选的推理；先指出观察格，再说明理由。
同结构变式 · 主对角线镜像 · 数字重新编号 · 来源：Shining Mirror 对称定理（题例）
需要时，看一点提示
先回想本课口诀：“位置照镜子，数字换名字；题目唯一，答案也得对上。” 图中已保留本题完整候选，先找结构，暂时不要展开答案。
做完后，对照答案与理由
盘面的全部已填数满足主对角反射和数字一一映射：1→8，2→2，3→4，4→3，5→7，6→6，7→5，8→1，9→9。由于已核验唯一解，完整答案也必须保持这组对应。位于对称轴的格只可取映射到自身的数字；其他格的候选必须在对位格有对应候选。
- 第1行第1列删除候选 1
- 第1行第1列删除候选 8
- 第2行第2列删除候选 1
- 第2行第2列删除候选 5
- 第2行第2列删除候选 7
- 第2行第2列删除候选 8
- 第3行第3列删除候选 5
- 第3行第3列删除候选 7
- 第5行第5列删除候选 5
- 第5行第5列删除候选 7
- 第6行第6列删除候选 1
- 第6行第6列删除候选 8
- 第8行第8列删除候选 3
- 第8行第8列删除候选 4
- 第8行第8列删除候选 5
- 第8行第8列删除候选 7
- 第9行第9列删除候选 3
- 第9行第9列删除候选 4
巩固练习 3 / 5
Gurth 对称定理 · 巩固练习 3
使用“Gurth 对称定理”找到一步可以确定填数或删除候选的推理；先指出观察格，再说明理由。
同结构变式 · 副对角线镜像 · 数字重新编号 · 来源：Shining Mirror 对称定理（题例）
需要时，看一点提示
先回想本课口诀：“位置照镜子，数字换名字；题目唯一，答案也得对上。” 图中已保留本题完整候选，先找结构，暂时不要展开答案。
做完后，对照答案与理由
盘面的全部已填数满足主对角反射和数字一一映射：1→9，2→2，3→7，4→5，5→4，6→6，7→3，8→8，9→1。由于已核验唯一解，完整答案也必须保持这组对应。位于对称轴的格只可取映射到自身的数字；其他格的候选必须在对位格有对应候选。
- 第1行第1列删除候选 1
- 第1行第1列删除候选 9
- 第2行第2列删除候选 1
- 第2行第2列删除候选 3
- 第2行第2列删除候选 7
- 第2行第2列删除候选 9
- 第4行第4列删除候选 4
- 第4行第4列删除候选 5
- 第5行第5列删除候选 3
- 第5行第5列删除候选 7
- 第7行第7列删除候选 3
- 第7行第7列删除候选 7
- 第8行第8列删除候选 3
- 第8行第8列删除候选 4
- 第8行第8列删除候选 5
- 第8行第8列删除候选 7
- 第9行第9列删除候选 4
- 第9行第9列删除候选 5
巩固练习 4 / 5
Gurth 对称定理 · 巩固练习 4
使用“Gurth 对称定理”找到一步可以确定填数或删除候选的推理；先指出观察格，再说明理由。
同结构变式 · 原方向 · 数字重新编号 · 来源：Shining Mirror 对称定理（题例）
需要时，看一点提示
先回想本课口诀：“位置照镜子，数字换名字；题目唯一，答案也得对上。” 图中已保留本题完整候选，先找结构，暂时不要展开答案。
做完后，对照答案与理由
盘面的全部已填数满足主对角反射和数字一一映射：1→1，2→8，3→7，4→5，5→4，6→6，7→3，8→2，9→9。由于已核验唯一解，完整答案也必须保持这组对应。位于对称轴的格只可取映射到自身的数字；其他格的候选必须在对位格有对应候选。
- 第1行第1列删除候选 3
- 第1行第1列删除候选 7
- 第2行第2列删除候选 2
- 第2行第2列删除候选 3
- 第2行第2列删除候选 7
- 第2行第2列删除候选 8
- 第3行第3列删除候选 2
- 第3行第3列删除候选 8
- 第5行第5列删除候选 2
- 第5行第5列删除候选 8
- 第6行第6列删除候选 3
- 第6行第6列删除候选 7
- 第8行第8列删除候选 2
- 第8行第8列删除候选 4
- 第8行第8列删除候选 5
- 第8行第8列删除候选 8
- 第9行第9列删除候选 4
- 第9行第9列删除候选 5
巩固练习 5 / 5
Gurth 对称定理 · 巩固练习 5
使用“Gurth 对称定理”找到一步可以确定填数或删除候选的推理；先指出观察格，再说明理由。
同结构变式 · 顺时针旋转 90° · 数字重新编号 · 来源：Shining Mirror 对称定理（题例）
需要时，看一点提示
先回想本课口诀：“位置照镜子，数字换名字；题目唯一，答案也得对上。” 图中已保留本题完整候选，先找结构，暂时不要展开答案。
做完后，对照答案与理由
盘面的全部已填数满足副对角反射和数字一一映射：1→9，2→6，3→4，4→3，5→5，6→2，7→7，8→8，9→1。由于已核验唯一解，完整答案也必须保持这组对应。位于对称轴的格只可取映射到自身的数字；其他格的候选必须在对位格有对应候选。
- 第1行第9列删除候选 3
- 第1行第9列删除候选 4
- 第2行第8列删除候选 1
- 第2行第8列删除候选 3
- 第2行第8列删除候选 4
- 第2行第8列删除候选 9
- 第3行第7列删除候选 1
- 第3行第7列删除候选 9
- 第5行第5列删除候选 1
- 第5行第5列删除候选 9
- 第6行第4列删除候选 3
- 第6行第4列删除候选 4
- 第8行第2列删除候选 1
- 第8行第2列删除候选 2
- 第8行第2列删除候选 6
- 第8行第2列删除候选 9
- 第9行第1列删除候选 2
- 第9行第1列删除候选 6
最容易弄错的地方
- 盘面外形对称不足以使用，必须同时检查全部数字映射和唯一解。
- 缺少某个数字的已知映射时，本地方法不会猜出它该映到什么。
- 数字映射不是大小关系，例如 1→7 不表示其他数字也统一加 6。
- 手动删错候选可能破坏对应关系，使用前应先确认当前笔记仍保留真实答案。
本地支持的具体范围
本地支持主／副对角反射及 180° 旋转；要求当前全部已填数给出完整九数字双射并已核验唯一性，不推测缺失映射。
和孩子一起说一说
像给数字换名字：如果照镜子后 2 变成 8，所有 2 都必须这样变吗？镜子上不移动的格，能放一个变了名字的数吗？
学会了吗？做个小检查
某格在位置变换后仍是自身，数字映射中 2→8，这格可以填 2 吗？
若填 2，变换后的同一格会变成 8，与唯一答案必须保持不变相矛盾。